БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ВЕ) Страница 26

  Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у ) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

  1) (х, у ) = (у, х ) (перестановочность);

  2) (x1 + x2 , y ) = (x1 , y ) + (x2 , y ) (распределительное свойство);

  3) (ax, у ) = a (х, у ),

  4) (х, х ) ³ 0 для любого х , причем (х, х ) = 0 только для х = 0 .

  Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством . Длина |x | вектора x и угол  между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

  Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство En получим, определяя в n -мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (l1 , …, ln ) и y = (m1 , …, mn ) соотношением

  (x, y ) = l1 m1 + l2 m2 +… + ln mn .     (2)

  При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

  В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у ) = 0. В рассмотренном пространстве En условие ортогональности векторов x = (l1 , …, ln ) и y = (m1 , …, mn ), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

  l1 m1 + l2 m2 +… + ln mn = 0. (3)

  Применение В. п . Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yn + a1 (x ) y (n + 1 ) + … + an (x ) y = 0 . Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

  Рассмотрим в евклидовом пространстве En векторы ai = (ai1 , ai2 , …, ain ), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u1 , u2 ,..., un ). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов En , придадим системе (4) следующий вид:

  (ai , u ) = 0, i = 1, 2, …, m .   (5)

  Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам ai . Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов ai , то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов ai . Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства . Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С .

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. — Л., 1948.

  Э. Г. Позняк.

Вектор-потенциал

Ве'ктор-потенциа'л, см. Потенциалы электромагнитного поля .

Вектор-функция

Ве'ктор-фу'нкция, векторная функция, функция, значения которой являются векторами; см. Векторное исчисление .

Векуа Илья Несторович

Ве'куа Илья Несторович [р. 23.4(6.5).1907, с. Шешелеты, Грузия], советский математик и механик, академик АН СССР (1958; член-корреспондент 1946) и АН Грузинской ССР (1946), Герой Социалистического Труда (1969). Член КПСС с 1943. Окончил Тбилисский университет (1930), работал в АН СССР, АН Грузинской ССР и в высших учебных заведениях. В 1959—64 ректор Новосибирского университета, с 1965 ректор Тбилисского университета. Основные труды относятся к новым научным направлениям в современной математической физике. Работы в области дифференциальных уравнений с частными производными в основном посвящены созданию аналитической теории обширного класса уравнений эллиптического типа. В. внёс крупный вклад в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений, открыл и исследовал новый класс нефредгольмовых эллиптических краевых задач. В области механики В. предложил новый вариант математической теории упругих оболочек. Им решены трудные проблемы малых изгибаний поверхностей и тесно с ними связанные задачи безмоментной теории оболочек. Депутат Верховного Совета СССР 7-го и 8-го созывов. Государственная премия СССР (1950). Ленинская премия (1963). Награжден 3 орденами Ленина, орденом «Знак Почёта» и медалями.

  Соч.: Новые методы решения эллиптических уравнений, М. — Л., 1948; Обобщенные аналитические функции, М., 1959; Теория тонких пологих оболочек переменной толщины, Тб., 1965.

  Лит.: Бицадзе А. В., Илья Несторович Векуа, Тб., 1967.

  А. В. Бицадзе .

И. Н. Векуа.

Векша (белка)

Ве'кша, старорусское название белки .

Векша (ден. единица Др. Руси)

Ве'кша, белка, веверица, самая мелкая денежная единица Древней Руси (9—13 вв.). Впервые упоминается в «Повести временных лет» в записи под 853—58, встречается в Русской правде — памятнике русского раннефеодального права. Равнялась1 /6 куны. Серебряная В. весила около 1 /3 г.

Векшё

Ве'кшё (Växjö), город в Южной Швеции. Административный центр лена Крунуберг. 34,3 тыс. жителей (1969). Транспортный узел. Машиностроение, трикотажная и швейная промышленность. Возник в 1342. Вблизи — руины замка Крунуберг (16 в.).

Векшинский Сергей Аркадьевич

Ве'кшинский Сергей Аркадьевич [р. 15(27).10.1896, Псков], советский учёный, специалист в области электровакуумной техники, академик АН СССР (1953; член-корреспондент 1946), Герой Социалистического Труда (1956). Член КПСС с 1940. В 1922—28 работал главным инженером электровакуумного завода в Ленинграде. В 1928—36 заведующий вакуумной лабораторией, в 1936—39 главный инженер, в 1939—41 консультант завода «Светлана» в Ленинграде. С 1947 директор научно-исследовательского института. В 1941—44 разработал новый метод получения и исследования сплавов (Государственная премия СССР, 1946). Создал ряд электронных приборов. Награжден 3 орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и медалями.

  Соч.: Новый метод металлографического исследования сплавов, М. — Л., 1944.