Александр Петелин - Естествознание Страница 7

Второй закон Кеплера

Прямая, соединяющая Солнце и какую-либо планету, при вращении планеты вокруг Солнца за равные промежутки времени описывает одинаковую площадь.

Из этого закона следует, что когда планета ближе всего проходит около Солнца (для Земли это происходит в начале января), ее скорость максимальна.

Третий закон Кеплера

Кубы расстояний двух любых планет от Солнца относятся как квадраты их периодов обращения:

где R1 и T1 – расстояние и период обращения первой планеты, а R2 и T2 – расстояние и период обращения второй планеты. Кеплер установил, что в качестве расстояния R следует брать главную полуось эллипса.

Все три закона Кеплера являются следствием закона всемирного тяготения. Ньютону удалось использовать открытый им закон, чтобы сформулировать законы Кеплера.

Закон сохранения момента количества движения

При равномерном вращении тела по окружности радиусом R скорость тела v в каждой точке окружности направлена перпендикулярно линии радиуса (или иначе – по касательной к окружности в данной точке).

Импульс тела

будет также направлен перпендикулярно линии радиуса.

Величина L = Rp± называется моментом количества движения (моментом импульса) вращающегося тела. Закон сохранения момента количества движения утверждает, что полный момент количества движения любой замкнутой системы должен всегда оставаться неизменным. Этот закон выполняется независимо от характера взаимодействия частиц системы между собой и независимо от траектории вращения тела. Тело может вращаться по круговой, эллиптической или любой другой траектории.

Пример. Фигуристка, выступая на соревнованиях, исполняет элемент вращения вокруг своей оси с широко раскинутыми руками. Не прекращая вращения, она плотно прижимает руки к телу. Это приводит к уменьшению среднего радиуса вращения, так как руки спортсменки, обладающие определенной массой, приблизились к оси вращения. Момент количества движения при этом не должен измениться, но радиус вращения уменьшился, значит, должна увеличиться скорость вращения. Это и происходит.

Центр масс

Если замкнутая система, содержащая N частиц (тел), испытывает поступательное и вращательное движение при отсутствии внешних сил, то в системе существует особая точка, не участвующая во вращении. Эта точка носит название центра масс. Координата центра масс определяется следующим образом:

где m1, m2…., mN – массы частиц (тел), входящих в состав системы; M – полная масса всех частиц; x1 – проекция на ось x расстояния R1 до первой частицы и т. д. Составляющую скорости поступательного движения (не скорости вращательного движения) центра масс по оси x можно получить, если разделить обе части этого равенства на t, тогда

где Px – проекция на ось x полного импульса системы. Согласно закону сохранения импульса, составляющие Px, Py и Pz при отсутствии внешних сил должны оставаться неизменными. Это означает, что при отсутствии внешних сил центр масс движется по прямой. При свободном движении с вращением и отсутствии внешних сил центр масс твердого тела не вращается и не ускоряется. Вот почему твердые тела и системы частиц всегда вращаются вокруг своего центра масс.

Согласно закону сохранения момента количества движения, Земля неизменно вращается вокруг своего центра масс с постоянной скоростью (если пренебречь действием внешних сил, вызывающих приливы и отливы).

Энергия

Кинетическая энергия

Определение: половина произведения массы тела на квадрат его скорости называется кинетической энергией Eкин этого тела:

Если тело имело начальную скорость v0, то в соответствии с кинематикой и вторым законом Ньютона

или

В этом случае вся энергия Fs, сообщенная телу, идет на увеличение его кинетической энергии. Эта энергия, сообщенная телу массой т, служит мерой работы, произведенной над телом внешней силой. «Работа» – это просто другое слово для обозначения энергии, сообщенной телу внешней силой.

Потенциальная энергия

Рассмотрим случай, когда тело массой т находилось на поверхности земли, а затем под действием приложенной к нему силы, направленной против силы притяжения Земли, F= -FG, поднялось на высоту h. Произведенная работа А равна:

Кинетическая энергия в данном случае не изменилась. На что была затрачена работа? На создание запаса энергии – потенциальной энергии, способной, в свою очередь, перейти в кинетическую. Чтобы перевести ее в кинетическую энергию, надо позволить телу падать. Когда тело пролетит вниз расстояние h, его скорость достигнет величины, определяемой соотношением

Вычислим его кинетическую энергию в конце пути:

Мы видим, что затраченная ранее работа может быть снова превращена в кинетическую энергию. Таким образом, понятие потенциальной энергии имеет буквальный смысл.

Определение: энергия, запасенная телом благодаря положению его массы, называется потенциальной энергией E пот.

В рассмотренном выше случае E пот = mgh.

Согласно другому определению, потенциальная энергия – это работа, которую надо совершить над телом массой m, чтобы переместить его вдоль направления действия «консервативной» силы. Под консервативными силами понимают силы, которые зависят только от положения тела. Сила сопротивления воздуха при движении любого вида транспорта зависит от скорости, поэтому не является консервативной.

Итак, потенциальная энергия – это, буквально, потенциально возможная энергия, или запасенная энергия.

Пример. Существуют стенные часы, которые имеют механический привод, т. е. идут, показывают текущее вермя благодаря гире, поднятой на некоторую заданную высоту. Гиря на прочной подвеске, висящая без упора над поверхностью пола, имеет запасенную потенциальную энергию. Гиря стремится опуститься вниз, при этом она постепенно передает свою потенциальную энергию механизму часов, – шестерни вращаются, стрелки движутся. Потенциальная энергия гири постепенно превращается в кинетическую энергию движения часового механизма.

Можно рассмотреть механические часы, имеющие другое устройство. Скажем, наручные или настольные часы, имеющие в качестве привода сжатую упругую пружину. Возникает вопрос: откуда берется энергия, перемещающая в данном случае часовые стрелки? Ведь в механизме таких часов не используется потенциальная энергия поднятого над поверхностью пола (стола, земли) тела. Простые рассуждения указывают, что требуемая для работы часов энергия запасена в сжатой пружине. Когда пружина разожмется полностью, запасенная энергия сжатия будет исчерпана, часы остановятся. Чтобы они снова стали работать, необходимо их завести, т. е. снова сжать пружину. Значит, при упругой деформации пружины в ней запасается энергия. Эта энергия тоже является потенциальной. Можно привести и другие примеры, когда потенциальная энергия может быть запасена не только благодаря изменению положения тела. Такие примеры позволяют обобщить понятие потенциальной энергии: потенциальная энергия – это энергия любой природы, полученная телом или физической системой любым путем. Запасенная потенциальная энергия может совершать работу или переходить в другие виды энергии.

Закон сохранения энергии

Закон сохранения механической энергии

Если мы наблюдаем за частицей (телом) массой m, которая в начальный момент времени имела скорость v0 и потенциальную энергию E0 пот, то закон сохранения механической энергии утверждает, что